History and Hermeneutics for Mathematics
Education
Storia
ed Ermeneutica per la Didattica della Matematica
Opera Omnia by Wolf (1743)
L’Opera Omnia di Wolf (1743)
Wolf, C. (1743), Elementa
Matheseos Universae, I, II, III, IV, V, Gosse, Genevae
WOLF Christian (1678-1754)
Conspectus Elementorum Matheseos
Universae.
Tomus
I. De Methodo mathematica brevis commentatio (pp. 1-14).
Elementa Arithmeticae
(pp. 15-94).
Elementa Geometriae (pp.
95-210).
Elementa Trigonometriae
planae (pp. 211-232).
Elementa Analyseos
finitorum (pp. 233-416).
Elementa Analyseos
infinitorum (pp. 417-518).
Tomus
II. Elementa Mechanicae & Staticae (pp. 1-252).
Elementa Hydrostaticae
(pp. 253-278).
Elementa Aërometriae (pp.
279-330).
Elementa Hydraulicae (pp. 331-396).
Tomus III. Elementa Opticae (pp. 1-76).
Elementa
Perspectivae (pp. 77-102).
Elementa Catoptricae (pp. 103-170).
Elementa Dioptricae (pp.
171-290).
Elementa Sphaericorum
& Trigonometriae Sphericae (pp. 291-340).
Elementa Astronomiae (pp.
341-581).
Tomus
IV. Elementa
Geographiae & Hydrographiae (pp. 1-84).
Elementa Chronologiae
(pp. 85-150).
Elementa Gnomonicae (pp.
151-196).
Elementa Pyrotechnicae
(pp. 197-236).
Elementa Architecturae
militaris (pp. 237-286).
Elementa Architecturae
civilis (pp. 287-374).
Tomus
V. De
praecipuis scriptis mathematicis brevis Commentatio (pp. 1-128).
Commentatio de studio
mathematico recte instituendo (pp. 129-408).
Commentatio de
studio Matheseos recte instituendo.
Praefatio.
Qui Mathesi
addicendae operam navant, non eundem sibi scopum praefigunt. Elementa nostra
Matheseos universae ita coscripsimus, ut pro multiplici discentium scopo
satisfaciant omnibus. Quoniam vero non omnes eadem industria eidem incumbere
tenentur, nec omnia addicenda omnibus; igitur nobis propositum est docere, quid
unicuique conveniat. Multum omnino interest, ut studium Matheseos rite
tractetur, siquidem sine molestia ac temporis dispendio feliciter progredi
volueris. Quamobrem nostrum esse duximus, monstrare viam, qua sit eundum, ne ac
devia declinemus; id quod facillime accidit. Eam igitur, quam in nos
suscepimus, de studio mathematico rite instituendo tractationem utilitate sua
non destitutum iri confidimus. Quamobrem suademus, ut omni attentione eandem
legat & relegat, qui Matheseos addicendae animo ad Elementa nostra legenda
accedit. Quodsi quis studiose observet, quae praecipimus, eum participem
futurum fructus, quem eidem pollicemur, nulli dubitamus. Insignem vero
percipiet voluptatem, ubi sesnerit voto respondere eventum: quem ubi praevidet,
eo ipso accendetur ardor majore industria Matheseos studium continuandi, quam
qua idem inchoavit. Nostrum inprimis est amplificare Matheseos studium, nunquam
satis commendandum, nunquam pro dignitate depraedicandum. Nihil igitur
omittendum, quod huc quomodocunque facit. Alienam felicitatem qui nostram
existimamus, id unice intendimus, ut dicamus, ut scribamus, quae prosunt aliis.
Quamobrem nec quicquam magis in votis habemus, quae ut omnes, qui ad Mathesin
addiscendam animum appellunt, participes fiant ejus frucrus, qui ex studio
mathematico percipi potest.
Commentatio de
studio Matheseos recte instituendo.
Caput I. De
diversis cognitionis gradibus & quomodo iidem acquirantur.
§ 1. Tres
dantur gradus cognitionis humanae in omni veritatis genere, quos recto
facultatum cognoscendi usu acquirere licet. Aut enim in eo acquiescimus, quod
veritatem ab aliis propositam intelligamus; aut ulterius progressi id agimus,
ut eiusdem etiam convincamur; aut denique operam damus, ut ex iis, quae
cognovimus, alia adhuc nobis incognita proprio marte eruere valeamus.
§ 2. Primus
gradus acquisitu omnium facillimus & a ceteris praesupponitur: nequ enim
veritatis, nisi intellectae, convincitur animus; sive eum a priori, sive a
posteriori convincere volueris; multo minus autem ex iis, quae cognovisti, alia
incognita deducere potueris, nisi ea, quae cognovisti, satis intellexeris.
Gradus secundus difficilius comparatur primo, cum multo ampliorem requirat
facultatum usum; nec ad tertium adspirandum, nisi ubi ad secundum ascenderis.
Tertium denique omnium difficillime consequi licet, cum amplissimum omnium
exigat facultatum usum. Qui in Logica & Psychologia satis fuerint versati
veritatem dictorum abunde perspicient: ceteris satisfaciet experientia
domestica, ubi diversis hisce gradibus acquirendis non sine successu operam
dederint. Eluscet quoque quodammodo veritas ex iis,
quae mox de illis uberius dicentur.
§ 3. Cognitionem gradus primi acquisturus, definitiones, theoremata &
problematum resolutiones sibi perspecta reddere tenetur, omissis
demonstrationibus. Cognitionis secundi gradus compos futurus addere debet
demonstrationes. Ad cognitionem tandem tertii gradus perventurus, in rem
praesentem veniat necesse est, & ex iis, quae ipsi cognita & perspecta
sunt, acquisito cum secundo gradu facultatum usu, eruere studeat opus est sibi
nondum nota: quod quomodo fiat, posthac indigitabimus, quantum praesentis
instituti ratio permittit. Neque enim nobis jam propositum est explicare Artem
inveniendi, quae legitimum facultatum usum in eliciendis incognitis ex cognitis
distincte docet.
§ 4. Theoremata
& problemata eorumque resolutiones non intelliguntur nisi per definitiones
terminorum, qui in iisdem occurrunt. Incipiendum igitur est a definitionibus,
quae ideo propositionibus praemittuntur; vel omnes simul quemadmodum in
Arithmetica & Geometria fecimus; vel eo saltem loco, ubi occurrunt
propositiones, quae per eas intelligendae, quemadmodum in reliquis Matheseos
partibus non sine ratione factum esse apparet.
§ 5. Ad
definitiones intelligendas afferenda est attentio, sub initium praesertim
molesta, adeoque omni modo excitanda & fovenda. Conducit huc, si
definitiones exemplis, veluti in Arithmetica numeris, illustrentur, &, in
Geometria, ad figuram oculis praesentem applicentur. Ita enim facilius
intelliguntur; ut molestia vanescat, quae attentionis conservandae
difficultatem parit. Ita definitio similitudinis illustratur exemplis duorum
horologium, & duorum aedificiorum, quae in scholio definitionis adjecto in
medium attulimus. Definitionem partis aliquotae illustramus exemplo lineae in
quatuor parte aequales divisae, cum enim pars una quater sumta lineam integram
adaequet, erit ea pars aliquota. Ita, in ipsa Arithmetica, definitionem numeri
quadrati & radicis quadratae numeris adjectis illustravimus, ut tali
exemplo non sit opus. Cum definitiones in Geometria retulerimus ad figuras; me
tacente apparet, quomodo ad eas applicari possint, veluti dicendo in
definitione trianguli aequilateri quod sit AB=BC=CA; perinde ac si ratiocinio
ostendi deberet, figuram, quae oculis subjicitur, esse triangulum aequicrurum.
Sensum nimirum, aut imaginatio, quae sensu antea percepta denuo praeferentia
sistit, attentionem in objectum trahit, cuius idea exhibet, quae in definitione
continentur; quo ipso & attentio excitatur & conservatur: cumque
definitionem a nobis intelligi nobis jam conscii simus, molestia evanescit,
quam termini non satis intellecti primum nobis objiciebant, immo in voluptatem
abit, quae ardorem dicendi accendit & inflammat, prout casus tulerit.
§ 6.
Definitiones eo ordine collocantur, ut termini in anterioribus jam fuerit
definiti, qui datam ingrediuntur. Ex. gr. Commensurabilia definiuntur, quod
partem aliquotam communem habent, vel eorum unum fit pars aliquota alterius.
Pars vero aliquota jam fuit definita, immo pars in genere. Similiter Quadratum
definitur per figuram quadrilateram, aequilateram, rectangulam. Sed figura jam
ante, figura quadrilatera, figura aequilatera, figura rectangula fuit definita.
Unde consequitur, definitiones legendas esse eo ordine, quo in singulis
disciplinis numerantur, & definitiones terminorum esse repetendas, qui
datam ingrediuntur. Ita nimirum obtinetur, ut quaelibet earum penitus
intelligatur, & animo ingenerentur notiones adaequatae, in quibus nihil
latet obscuri, ut intellectus plena luce perfruatur. Ex. gr. ubi definitionem
commensurabilium expendere volueris, illustranda primum est exemplis, utrumque
ejus casum repraesentando in numeris atque lineis. Ad exempla tam arithmetica,
quam geometrica applicanda est definitio; ita ut primum contentus sis
notionibus confusis, quas conspectus numerorum & figurarum suggerit. Deinde
applicandae ad eadem exempla sunt definitiones partis & partis aliquotae;
ita enim futurum, ut definitionem commensurabilium in utroque quantitatum
genere penitus intelligas, nec quicquam relinquatur obscuri, ubi eadem
industria in definitionibus anterioribus fuerit versatus. (...)
§ 10. Non
ignoro in figuris non requiri veritatem, sed sufficere ea sumi, quae per
definitionem inesse debent, ut definitio intelligatur. (...)
§ 20. Veteres
Geometrae propositionem ab expositione, tanquam duo diversa, a se invicem
distinxerunt; atque adeo illam pure enunciarunt, hanc eidem subjecerunt. Hunc
morem secutus est Clavius in Elementis Euclidis. Nos expositionem cum
propositione conjunximus, non tam quod in unum confundi velimus, quae diversa
dunt; quam ut, brevitatis gratia, quemadmodum jam monuimus, una exhiberemus,
quae a lectore separanda sunt; ne in nimiam molem excresceret opus, ac praeter
necessitatem evaderet sumtuosius.
§ 21. Necesse
autem est propositionem pure enunciari, remotis iis, quae ad expositionem
spectant; cum pure enunciata in usum futurum memoriae sit mandanda; expositio
autem adhibenda, ut claritas affundatur notioni complexae, quae propositioni
respondet, sine qua intelligi nequit, aut saltem non satis intelligitur;
quemadmodum nil videmus absque lumine, aut absque lumine sufficiente non satis
clare videmus visibile. Non tamen opus est expositionem una memoriae mandari,
cum in applicatione, ratiocinando facta, ejus nullam habeamus rationem; sed
sufficiat propositioni per expositionem satis intellectae adhaerere, per
naturam animae, sensum claritatis, quatenus fieri potest, ut expositionem
addamus, quando exigitur, vel e re esse videtur; qua actu affunditur claritas,
cujus, dum nunc obscure percipitur, antea clare perceptae memoriam habemus.
§ 22. Resolutiones problematum arithmeticae ad exempla, geometricae ad figuram
constructiones statim sunt transferendae. Singula, quae fieri praecipuintur, suis
numeris distinximus. Numerantur autem eo ordine singula, quo fieri debent.
Quamobrem, cum quaelibet resolutio tot contineat regulas, quot sunt numeri;
lecta prima statim faciendum, quod eadem praecipitur, & progressus ordine
fieri debet ad sequentes. Ita nimirum absque ullo negotio facies, quod fuerat
faciendum; & dum hoc facis, regulis affundetur claritas, quae ad totam
resolutionem intelligendam sufficit. (...)
§ 23. Quoniam
vero non sufficit problematum resolutiones intelligere, verum etiam habitus
comparandus est ea faciendi, quae fieri debent; habitus autem omnis, nonnisi
exercitio, adeoque idem iterato agendo, comparatur; a problemate uno non
progrediendum ad alterum, nisi ubi ea, quae in resolutione praecipiuntur,
prompte facere potueris. Hoc enim facto, nullam senties in difficilioribus
difficultatem; nec venendum est, ne molestia fastidium creet; nec progressus
destituetur voluptate individua comite, quae ardorem continuo progrediendi
ulterius accendit, alit & auget. Merentur ea, quae hic dicuntur,
attentionem; hoc enim modo acquiruntur singulares animi dotes, ad praeclara
nitenti mirifice profuturae. Sed de his dicemus nonnulla in sequentibus. (...)
§ 33. Absit autem,
ut tibi persuadeas, demonstrationes hasce mechanicas in locum ceterarum
surrogari posse, quas scientificas appellare libet in oppositione ad
mechanicas. Etenim quod per mechanicas patet, nonnisi verum esse intelligitur
de figura, quam descripsisti & prae manibus habes; adeoque theorematis
veritas perspicitur nonnisi in casu singulari. Enimvero demonstratio, ex
hypothesi theorematis ratiocinando, veritatem theorematis manifestat
universaliter. (...)
§ 34. Demonstrationes mechanicae aequipollent exemplis numericis, quae
veritatem theorematum & problematum in casu singulari perspiciendam
praebent. Atque adeo facile patet, quid fieri debeat, si simile quid circa
theoremata arithmetica tentes. (...)
§ 36.
Demonstrationes ita mechanicae satisfaciunt iis, qui in primo cognitionis gradu
acquiescunt. Faciunt enim ad perspiciendum veritatem in singulari. (...)
§ 37.
Demonstrationes continua ratiocinatione absolvuntur, & ex assumtis
procedunt. Assumta continentur in hypothesi, quae singula demonstrationem
ingredi debent. Ab his igitur exordiendum; redigendo in propositiones assumta,
& ex anterioribus sumendo principia, quae vel in definitionum, vel
axiomatum, & postulatorum, vel propositionum jam demonstratarum numero
sunt, terminum communem cum istis habentia, qui ipse principium istud veluti
sponte sua in memoriam revocat, ubi anteriora eidem firmiter infixa tenueris.
(...)
Commentatio de
studio Matheseos recte instituendo.
Caput II. De
Modo instituendi studium Matheseos intellectus perficiendi causa.
§ 90. Non omnes
in addiscenda Mathesi eundem sibi scopum praefigunt. Postquam igitur in genere
docuimus, quomodo Mathesis sit tractanda, ut eam consequaris cognitionem, quam
intendis; nunc porro dispiciendum est, quinam per Matheseos studium intendi
possint fines, & quaenam observanda sint ei, qui finem intentum consequi
voluerit. (...)
§ 93. Qui in
primo cognitionis gradu acquiescit, non alium finem sibi propositum habet, quam
ut veritatem ab aliis propositam intelligat; consequenter non aliud intendit,
praeterquam veritatum mathematicarum nudam cognitionem. Quoniam igitur nuda
veritatum mathematicorum cognitione non perficitur intellectus; nec fructus
hujus particeps fieri potest, qui primum conitionis gradum unice curae cordique
habet. (...)
§ 95. Non est
quod mireris modum, a nobis praescriptum, ad primum cognitionis gradum
adspirantibus, facere ad perficiendum intellectum; cum tamen a methodo, non a
dogmatis expectanda sit perfectio intellectus. Etenim cum secundus cognitionis
gradus supponat primum; nos in acquirendo cognitionis gradu primo jam ea
praecepimus, quae vi methodi observanda sunt iis, quibus secundus curae
cordique est; cum vulgo methodi nulla habeatur ratio, & plerumque nonnisi
confusae notiones memoriae imprimantur, vi imaginationis reproducendae, quando
iisdem opus est. (...)
§
Commentatio de
studio Matheseos recte instituendo.
Caput III. De
studio Arithmeticae, Geometriae, & Trigonometriae planae in specie.
§ 111.
Arithmeticae, Geometriae, & Trigonometriae planae nostra Elementa ita
conscripsimus, ut satisfaciant omnibus, quocunque fine ad Arithmeticam &
Geometriam addiscendam appellunt. (...)
Commentatio de
studio Matheseos recte instituendo.
Caput IV. De
studio Algebrae, seu Analyseos mathematicae in specie.
§ 143. Analysis
mathematica est ipsa Ars inveniendi, qua hodie utuntur Mathematici in
veritatibus mathematicis investigandis. Huic adeo operam dare debent, quotquot
ad cognitionis gradum tertium in Mathesi adspirant. Etsi enim demonstrationum
more nostro facta resolutio etiam analytica sit, ut eodem modo ex hypothesi
data inveniri possit, quo demonstrandum quod demonstratur; non tamen iis detegentis
sufficit, ad quae Analysis recentiorum ducit, tota vulgo Algebrae nomine
appellari solita. Etenim, per Algebras, paucis cognitis, invenire licet quae,
si more veterum detegenda essent, longam rerum inventarum seriem supponerent.
Quid, quod facili labore eruantur, quae Herculeo investiganda essent? Haec sane
ratio est, cur inventa Mathematicorum recentiorum longissimo intervallo post se
relinquant inventa Veterum, & quod uno seculo plura fuerint detecta, quam
tot seculis inveniri potuerint, quibus Mathesis antea fuit exculta. Sane si
Archimedes & Apollonius nostro aevo reviviscerent; in stuporem raperentur,
visis inventis recentiorum, quae per algebram fuerunt in apricum producta:
neque enim unquam sibi persuasissent, patere ad talia mortalibus aditum.
§ 144. Non
tamen omnia per calculos algebraicos erui possunt, quae ad Geometriam spectant.
Patet id ex ipsa Geometria elementari. (...)
§
§ 251.
Arithmetica infinitorum, invento calculo differentiali & summatorio, non
amplius eum habet usum quem habere poterat, si is nondum fuisset inventus.
(...)
Commentatio de
studio Matheseos recte instituendo.
Caput V. De
studio Mechanicae.
§ 252.
Mechanica a Veteribus inventa fuit in usum machinarum. Veteres enum laudabili
exemplo in theoria semper respiciebant ad usum in praxin; quippe cum in omni
theoriae genere intendenda sit praxis, quemadmodum in Philosophia sedulo
inculcamus. (...)
Commentatio de
studio Matheseos recte instituendo.
Caput VI. De
studio Hydrostaticae, Aerometriae, & Hydraulicae.
§ 261.
Hydrostatica tota cognitu utilis iis, qui praxi Mechanicae student. Sufficit
autem iisdem primus cognitionis gradus. Enimvero ne sensus theorematum videatur
obscurus, singula exemplis numericis illustranda. (...)
§ 267.
Hydraulica olim machinarum hydraulicarum & fontium salientium constructione
tota absolvebatur, atque adeo non erat nisi pars Matheseos practicae. (...)
Commentatio de
studio Matheseos recte instituendo.
Caput VII. De
studio Opticae, Perspectivae, Catoptricae, & Dioptricae.
§
§ 272. Qui ad
Physicam animum appellunt, iis studium Opticae maximopere commendandum. Non
tamen sufficit nuda ejus cognitio historica, quam iis commendavimus, qui praxi
student; sed requiritur scientifica, quae non sine accurata demonstrationum
evolutione acquiritur. (...)
Commentatio de
studio Matheseos recte instituendo.
Caput VIII. De
studio Sphaericorum, & Trigonometriae Sphaericae.
§ 285.
Trigonometria sphaerica demonstrari nequit, nisi praemittuntur principia
sphaericorum, quae etiam ante applicanda sunt ad Astronomiam sphaericam, quem
calculo trigonometrico in eadem uti datur. (...)
§ 287.
Trigonometriae sphaericae demonstrationes non modo supponunt theoremata
spharica seu Sphaericorum theoriam; sed propriam quoque theoriam habet, qu
nituntur resolutiones problematum. Nimirum quemadmodum Trigonometria plana nititur
theoria triangulorum planorum, seu rectilineorum, in plano descriptorum, quae
traditur in Geometria elementari; ita quoque Trigonometria sphaerica pendet a
theoria triangulorum sphaericorum, seu eorum quorum latera sunt arcus
circulorum maximorum in superficie sphaerae descriptorum. (...)
§ 288. Qui ad
tertium cognitionis gradum adspirant, iis studium Elementorum sphaericorum
& Trigonometriae sphaericae commendandum. Etenim, sine principiis
sphaericis & Trigonometria sphaerica, nihil reperire licuit in Astronomia
sphaerica; multa etiam in Geographia ab hisce principiis pendent. (...)
Commentatio de
studio Matheseos recte instituendo.
Caput IX. De
studio Astronomiae.
§ 290. Studium
Astronomiae multis sese nominibus commendat omnibus, qui ad solidam rerum
cognitionem adspirant, sive secundum cognitionis gradum, sive tertium
intendant; & inprimis si quis intellectus perficiendi gratia Mathesi operam
navet, ac ad scientiam naturalem excolendam animum appellere velit; immo si
studio medico sese mancipandi animum habuerit. Diversi admodum sunt fines, cur
quis ad studium Astronomiae accedit. Quare nec omnibus eodem modo in eodem
versandum, cum diversos fines non eodem modo consequi detur. Nostrum igitur est
docere, quid unicuique faciendum, ut finem a se intentum consequatur.
§ 290. Sunt qui
curiositatis tantummodo gratia Astronomiam addiscendam esse sibi persuadent;
cui tanto magis satisfaciendum existimant, ne ignorent ea, quae in Calendariis
extant; non decere virum eruditum arbitrati, ut Calendarium quotidie in manu
habeat, non tamen intelligat, quae in eodem traduntur. Sunt alii, qui istis
oculatiores longius prospiciunt, & adolescentibus ob curiositatem commendat
studium astronomicum, ut eadem excitetur sciendi cupiditas & magis magisque
inflammetur. (...)
Commentatio de
studio Matheseos recte instituendo.
Caput X. De
studio Geographiae, Gnomonicae, & Chronologiae.
§ 317.
Geographia mathematica, cum qua hic nobis negotium est, multum affinitatis
habet cum Astronomia, praesertim sphaerica, a cujus principiis tota pendet.
(...)
§ 318. Qui
nonnisi historicam Geographiae cognitionem sibi acuirre student, iis
sufficiunt, quae ad Globum terrestrem, atque mappas geographicas, & tam
illius, quam harum, usum cognoscendum faciunt. (...)
§ 328. Qui ad
tertium cognitionis gradum adspirant, resolutionem problematis tanquam
incognitam supponere debent, & vi definitionis horologii, quod describi
jubetur, inquirendum, quomodo describi debeat. (...)
Commentatio de
studio Matheseos recte instituendo.
Caput XI. De
studio Pyrotechniae, Architecturae Militaris, & Architecturae Civilis.
§ 330.
Pyrotechnia paucas continet demonstrationes, quae ex Geometria elementari
principia sua mutuantur: quas negligere facile potest, qui soli praxi studet.
(...)
§ 340. Atque
ita tandem nos satis docuisse confidimus, quomodo studium mathematicum
tractandum sit, ut omnem consequamus usum, qui ab eo expectari potest. Non
loquor nisi experta, ac ingenue profiteor, me nunquam ea, quae hactenus in Philosophia
conscripsi, & in posterum, si Deo ita visum fuerit, additurus sum, daturum
fuisse, nisi adminiculis istis adjutus fuissem. Eadem experientia fretus docere
quoue poteram, quomodo Mathesi uti possimus ad distinctas, & foecundas, in
Philosophia prima, notiones venerandas; & quomodo studio mathematico
perfici possit etiam appetitus; sed cum hoc a praesenti instituto alienum sit,
quae hic dici poterant, alii occasioni reservamus. (...)
See moreover:
Si veda inoltre:
Leibniz,
G.W. (1734), Essais de Théodicee, I, II, Foppens, Bruxelles.
Wolf, C. (1763), Elementa Arithmetices ac Geometriæ,
Typographia Simoniana, Napoli.
Syllogismos.it
History and Hermeneutics for Mathematics
Education
(Giorgio T. Bagni, Editor)
Back to Library/Biblioteca
Back to
Syllogismos.it Main Page
Torna a Syllogismos.it
Pagina
Principale